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第2章代数模型第3节不等式三座位分配1.doc

32 第二章初等代数模型 第三节不等式模型 不等式关系和等式关系是基本的数学关系,它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。现实生活中,有很多不平等的关系,无论是投资决策、生产计划、追求利润到价格战不存在绝对公平的席位分配方法对吗,还是解决人口控制、环保、交通等问题的过程,所有这些都可以归因于不平等关系的表现和解决问题。运用不平等知识解决实际问题是近年来中考和高考的重点内容之一。它不同于用函数方法解决实际问题。主要特点是它可以解决两个或多个变量之间的关系,而这些变量之间可能不存在函数关系,这为探索和寻找变量之间的关系开辟了新的思维方式。不等式的性质及其解法,以及一些重要的基本不等式,如均值不等式、柯西不等式、排序不等式,是不等式知识的基本模型。实际问题中的一些变量如何相应地转化为这些模型,是解决实际问题的关键。三、代表席位的公平分配和公平积分法的存在问题 选举是政治学研究的核心问题之一。其中包括重要问题,例如民意调查、投票分配等。选票分配是否合理,是选民最关心的热点问题之一。这个问题很早就引起了西方政治家和科学家的关注,并利用数学方法进行了大量深入的研究。下面我们以学生会选举为例,对本研究进行初步介绍。Q 每个部门可以获得多少个委员会席位?分配委员会席位的一种简单而公平的方式是按比例分配。下面我们以学生会选举为例,对本研究进行初步介绍。Q 每个部门可以获得多少个委员会席位?分配委员会席位的一种简单而公平的方式是按比例分配。下面我们以学生会选举为例,对本研究进行初步介绍。Q 每个部门可以获得多少个委员会席位?分配委员会席位的一种简单而公平的方式是按比例分配。

注意 qn/p 并将其称为分配的份额。自然地不存在绝对公平的席位分配方法对吗,q(i=1, 2, „, m) 不都是整数,配额的分配也必须是整数。我应该怎么办?想到的一种自然方法是“四舍五入法”。四舍五入的结果可能是名额被准确分配,名额可能过多或不足。有很多这样的例子,尤其是当 m 较大时。由于四舍五入法的这一缺点,美国乔治华盛顿时代的财政部长亚历山大·汉密尔顿于 1790 年提出了配额分配的解决方案,并于 1792 年被美国国会通过。国会由州分配,汉密尔顿法(又称“习惯法”)的具体操作如下: 1)采取每个州' s share q] ,首先让第 i 个状态有 [q] 个成员。2)然后考虑每个],并将剩余的席位按降序分配到相应的状态,直到席位分配完毕。下表 4-5 是根据 Hamilton 方法分配的: 表 4-5:按常规方法分配的学生比例(%) 理论座位 常规座位 10351.510.3106331.56.334173.4 总和 2001002020 汉密尔顿的方法看起来很合理,但还是有问题。例如,在最后一个剩余的地方,最多有一个以上的剩余小数部分。当然,在选民人数众多的情况下,小数部分相等的情况是非常少见的,也就是说概率非常小。所以,

从 1880 年开始,美国国会就汉密尔顿方法的公平性展开了辩论。原因是1880年美国人口普查后,阿拉巴马州发现汉密尔顿方法违反了该州的利益。通常,如果各州的人口比例保持不变,而立法机构的席位总数由于某种原因而增加,那么各州的立法者席位要么保持不变,要么增加,或者至少不应该减少。然而,Hamilton 的方法不能满足这个约定。这是学生会的一个例子。甲、乙、丙三个部门20人会议,人数分别为103、63、34人,上届会议按人数比例,三个单位按人数分配10,6人代表汉密尔顿方法。不过,为了避免下届提案投票时10:10的僵局,他们按照上述方法计算了11,7的分配方案(相关计算见表)。表 4-6 按比例分配的席位并参考习惯法 分配给 20 个席位的席位 21 个席位的分配 理论席位 这显然对 C 家族不公平,因为他们比原来少一个席位,表明汉密尔顿方法并不总是合理的。阿拉巴马州当时就面临这种情况,因此汉密尔顿方法所产生的这种矛盾通常被称为阿拉巴马州悖论。7 按上述方法计算(相关计算见表)。表 4-6 按比例分配的席位并参考习惯法 分配给 20 个席位的席位 21 个席位的分配 理论席位 这显然对 C 家族不公平,因为他们比原来少一个席位,表明汉密尔顿方法并不总是合理的。阿拉巴马州当时就面临这种情况,因此汉密尔顿方法所产生的这种矛盾通常被称为阿拉巴马州悖论。7 按上述方法计算(相关计算见表)。表 4-6 按比例分配的席位并参考习惯法 分配给 20 个席位的席位 21 个席位的分配 理论席位 这显然对 C 家族不公平,因为他们比原来少一个席位,表明汉密尔顿方法并不总是合理的。阿拉巴马州当时就面临这种情况,因此汉密尔顿方法所产生的这种矛盾通常被称为阿拉巴马州悖论。表 4-6 按比例分配的席位并参考习惯法 分配给 20 个席位的席位 21 个席位的分配 理论席位 这显然对 C 家族不公平,因为他们比原来少一个席位,表明汉密尔顿方法并不总是合理的。阿拉巴马州当时就面临这种情况,因此汉密尔顿方法所产生的这种矛盾通常被称为阿拉巴马州悖论。表 4-6 按比例分配的席位并参考习惯法 分配给 20 个席位的席位 21 个席位的分配 理论席位 这显然对 C 家族不公平,因为他们比原来少一个席位,表明汉密尔顿方法并不总是合理的。阿拉巴马州当时就面临这种情况,因此汉密尔顿方法所产生的这种矛盾通常被称为阿拉巴马州悖论。

这个悖论是出乎意料的,它是在实践过程中产生的,而不是逻辑的产物。因此,Hamilton 方法必须进一步改进以使其更加合理,很快提出了新的方法并消除了阿拉巴马悖论。本节讨论这种新的分配方法。【建立量化指标】:讨论A和B之间席位的公平分配。当两方人数分别为p时,席位的分配是公平的,但是由于席位数和席位数都是整数,所以通常是p . 此时席位的分配是不公平的,p(i=1,2)值较大的一方遭受损失,或者对该方不公平。让我们假设 p 并讨论对甲方的不公平程度。如果使用值 p=12-10=2,它衡量的是不公平的绝对错误程度。然而,当上述两方人数增加到p=1000,席位不变时,此时绝对不公平程度不变,但常识告诉我们,后一种情况的不公平程度已经大大与前者相比有所改善。因此,不公平的绝对错误程度通常无法区分两种明显不同的不公平程度。为了改善上述绝对误差,自然可以考虑相对误差。仍然注意 p 的相对不公平值。相对不公平的价值。在建立衡量分配不公平的量化指标后,制定席位分配方案的原则是使其不公平的量化指标r尽可能小。【确定分配方案】: 1. 考虑只有两方的情况。假设讨论,当总座位数增加1时,应该分配给A还是B。不失一般性,我们可以设置p。

即在分配 1 个席位时对 A 不公平。关于p(i=1,2)的不等式可能有以下3种情况:34不公平,所以这个席位显然应该分配给A,说明当A方增加1+1),即当方B 增加 1 个席位,对 A 不公平,而 A+1) 的情况可以参照公式(1)计算,为什么呢?) 因为不公平分配席位的原则是使相对不公平的价值尽可能小,如果席位应该分配给甲方;否则,应分配给乙方。根据公式(3)和(4)两个公式,公式(5)等价于不难证明上述第一种情况的p也成立公式(6) . 当公式(6)成立时,额外的1个席位应分配给A方,否则应该分配给B个席位i=1,2,....m.,当总席位增加+1), i=1, 2, ..., m(7)。这个席位应该分配给Q值最高的一方。这种座位分配方法称为下面的 Q 值方法,重新讨论本节开头提出的三个系列 A、B、C 分配 21 个座位的问题。首先,根据比例计算结果分配整数部分的 19 位。第20个座位和第21个和第20个座位的分配有n个方法:Q的计算量最大,所以这个座位应该分配给A部门。座位 21:计算 Q 同上,所以这个座位应该分配给 C 系列。这样一来,21个席位的分配结果是A、B、C三组分别占了11、6、和4个席位,C组保住了险些失去的席位。你觉得这种分配方式公平吗?【解说】: 1、席位的分配要对各方公平,大家都同意。问题的关键在于建立一个合理、简洁的量化指标来衡量公平程度。该模型提出的指标是相对不公平值,是确定分配方案的前提。

在这个前提下得出的分配方案——对Q值最大的一方来说无疑是相对公平的。2. 让我们分析Q的表达式(7),看看为什么它可以反映对第i方的不公平程度。为总座位数,设第i方的座位n为按人数比例计算的整数部分,即当上式两端为第i方的附加座位时第i个政党并且不分配给第i个政党,每个席位代表的人数,这两个值越大,对第i个政党越不公平。而Q只是他们几何平均数的平方,所以Qi可以反映对第三方的不公平程度,应该给Q值最高的一方分配一个额外的席位。3. 式(1)右边的分母可以用p代替,对后面的结果没有影响。4.如果开始时以Q为基础分配,前19个席位的分配结果将与此编号相同。因此,证明了 Q 值方法的有效性。5.虽然Q值法比较有效,但是这种新方法提出了新的问题。例如,尝试确定 77 个座位、78 个座位和 79 个座位分别为 404、204、104、54 和 14 的七个单元的公平分配。根据习惯法和 Q 值法分配座位 77 座位分配 78 座位分配 79 理论座位分配 10 98.327 10 10.53 11 98.327 10 545.3308 141。

在此基础上,78个席位加1个席位,因为5个单元的小数部分为0.4,所以按常规方法分配无效。因此,在常规方法得到的77个席位的分配方案(40,20,10,5,2)的基础上,得到78个席位(41,20,10,5,2)的分配方案Q值法。在此基础上增加 79 个席位,继续使用价值法得到 79 个席位(41、21、10、5、2)的分配方案。这种座位分配方法避免了阿拉巴马悖论。但是,如果按照惯例分配79,分配的结果应该是(41,21,11,5,1),这就产生了新的矛盾。新的问题需要消除,因此出现了一种更新的方法,当然也出现了更公平合理的方法。为了增加混乱,无论人们发现了哪种方法,在实施时总会遇到类似于阿拉巴马悖论的事情。那么自然要问,在现有的方法中,哪一种更好呢?有没有最公平的方法?美国数学家贝林斯基 (MLBalinski) 和杨 (HP Young) 在 1972 年发表了一个了不起的结果来回答这个问题。公平座位分配(积分)的不可能定理:没有完全公平的座位分配(积分)方法。也就是说,任何可能的座位分配(整合)方法,无论是否被发现,在某些情况下都不可避免地会导致不一致。哪一个更好?有没有最公平的方法?美国数学家贝林斯基 (MLBalinski) 和杨 (HP Young) 在 1972 年发表了一个了不起的结果来回答这个问题。公平座位分配(积分)的不可能定理:没有完全公平的座位分配(积分)方法。也就是说,任何可能的座位分配(整合)方法,无论是否被发现,在某些情况下都不可避免地会导致不一致。哪一个更好?有没有最公平的方法?美国数学家贝林斯基 (MLBalinski) 和杨 (HP Young) 在 1972 年发表了一个了不起的结果来回答这个问题。公平座位分配(积分)的不可能定理:没有完全公平的座位分配(积分)方法。也就是说,任何可能的座位分配(整合)方法,无论是否被发现,在某些情况下都不可避免地会导致不一致。

别林斯基和杨在公平席位分配(积分)研究中引入了公理化方法,证明了席位分配的不可能定理,即“不产生人口悖论”、“不违反公平分配原则” " 3 个完全合理的公理等是不相容的。换言之,不存在满足这三个公理的配额分配方法。也就是说,没有公平合理的选举制度。这是一个非常深刻的结论,但更违背常理:世界上没有正义!这个结论告诉我们,只有更公开,没有最公开。同时,公平席位分配(积分)的不可能性定理也清楚地解释了为什么美国的席位问题 经过近两百年的辩论,国会或参议院仍回到起点!习题与思考题 5、2001年,浙江省平阳县水头镇第一中学共分配合格教师18人。据了解,全校85名教师分为六组:语文组、数学组、英语组、自然组、体艺组、后勤组。13人,自然组21人,运动组11人,后勤组11人。如何分配名额更合理?有兴趣的读者可以参考蒋启元主编的《数学模型》(1993年第二版)第11章 11.2 有没有公平的选举规则?参考文献:沉文轩,杨庆涛,数学建模指南[M],哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2008, 166-168; 3. 杨尚军,关于代表席位的公平分配问题[J],高等数学研究,2010.1.91-93.